Péndulo de Maxwell

Objetivo

  • Analizar la conservación de la energía en el movimiento de un cuerpo que rota alrededor de un eje móvil y determinar su momento de inercia con respecto a dicho eje.

Motivación

Muchos cuerpos reales no pueden representarse adecuadamente como un punto en movimiento. Cuando un cuerpo gira sobre un eje (como un CD, un ventilador, o un yo-yo) debemos extender nuestro análisis dinámico al movimiento rotacional del cuerpo rígido.

En esta sesión estudiaremos el movimiento de un cuerpo rígido en el caso en el que el eje de rotación se mueve. En tal caso, dicho movimiento puede representarse como una combinación del movimiento traslacional del centro de masa y de rotación alrededor de un eje. La traslación del centro de masa y la rotación alrededor de dicho centro, pueden tratarse como movimientos independientes pero relacionados.

El péndulo o disco de Maxwell (figura 1) es una rueda con un eje metálico como eje de simetría perpendicular al plano de la rueda. Dos cuerdas fijas de un soporte a cierta altura están atadas al eje y se enrollan sobre él permitiendo levantarlo.

Maxwell0.JPG

Al ser liberado, el disco desciende girando alrededor del eje y la cuerda se desenrolla. En el punto más bajo, debido a la rotación del péndulo, la cuerda se enrolla de nuevo sobre el eje y el péndulo asciende girando en sentido contrario. Así continúa su movimiento durante un largo tiempo.

Si se desprecian las fuerzas de rozamiento sobre el péndulo se puede afirmar que la energía mecánica E se conserva. La energía total del péndulo de Maxwell es la suma de la energía cinética traslacional del centro de masa Kcm, la energía cinética rotacional Krot y la energía potencial gravitacional del centro de masa Ucm:

$E=Ucm+Kcm+Krot$ (1)

Al liberar el disco desde cierta altura h, medida desde el punto más bajo de su trayectoria, su energía potencial gravitacional disminuye mientras que las energías cinéticas, de traslación y de rotación, aumentan. En un punto arbitrario y de la trayectoria del péndulo, la energía total del disco de Maxwell es:

$E=m*g*y+(1/2)*m*v^2cm+(1/2)*Id*w^2$ (2)

Siendo g la aceleración de la gravedad, Idel momento de inercia alrededor del eje de giro, Vcm la velocidad de traslación, y w la velocidad angular.

Al sustituir en la ecuación (2) la velocidad angular w=(Vcm/r), donde r es el radio del eje de giro, se obtiene:

$E=m*g*y+(1/2)*(m+Id/r^2)*v^2cm$ (3)

Despreciando las pérdidas por rozamiento con el aire y el hilo, la energía total E es constante en el tiempo, por lo que, diferenciando la expresión anterior se encuentra

$dE/dt=0=m*g+(m+Id/r^2)*dVcm/dt$ (4)

De esta última expresión se obtiene la aceleración del centro de masa del disco acm y a partir de ella, usando las relaciones cinemáticas para el movimiento uniformemente acelerado, se obtiene la posición del disco y la velocidad de su centro de masa en función del tiempo:

Vcm(t)=acm

Y(t)=(1/2)*acm*$t^2$

Se obtiene:

|acm|=g/(1+Id/m*$r^2)$ (5)

Equipo requerido

  • Interfaz ScienceWorkshop 750
  • Sensor de movimiento
  • Calibrador
  • Péndulo de Maxwell
  • Regla

Procedimiento

Configuración del equipo

Maxwell1.jpg

1. Verifique el montaje de la figura 3, buscando que el sensor de movimiento esté a una distancia de 15 a 20 cm, justo debajo del disco. El eje del disco debe encontrarse en posición horizontal. Para nivelarlo use el tornillo de calibración. La masa del péndulo está anotada en cada equipo.

2. Conecte el sensor de movimiento a la interfaz ScienceWorkshop 750.

3. Configure el sensor activando únicamente las medidas de posición y velocidad.

4. Abra un gráfico de posición vs. tiempo y otro de velocidad vs. tiempo.

Procedimiento de recoleccion de datos

1. Enrolle cuidadosamente la cuerda sobre el eje, siempre en el mismo sentido, sin dejar espacios entre vueltas y evitando su traslapamiento, hasta llevar el disco a la parte alta del soporte (ver Figura 4). Verifique además que el eje del péndulo se encuentre en posición horizontal.

Maxwell2.jpg

2. Sostenga el disco. Haga clic sobre el botón Inicio y suelte el disco para empezar el registro de datos.

Maxwell3.jpg

3. Detenga la toma de datos tras registrar entre seis y diez trayectos completos de ascenso y descenso del péndulo (“oscilaciones”).

4. Si lo desea, repita el ensayo y guarde la actividad.

Análisis

Enfocaremos el estudio del movimiento, en primera instancia, al primer trayecto completo de ascenso y descenso del péndulo (región resaltada en las gráficas x vs. t y v vs. t en la figura 6).

Maxwell4.jpg

1. En ese intervalo, ¿realiza el péndulo un movimiento de aceleración constante? ¿Puede verificarlo a partir de las gráficas obtenidas?

2. Si es así, encuentre el valor de la aceleración, así como sus incertidumbres absoluta y relativa.

3. Usando la ecuación (5), obtenga el momento de inercia del péndulo de Maxwell respecto al eje de giro (Id ) y su incertidumbre relativa (∆Id/Id).

4. Calcule la energía potencial del péndulo de Maxwell. Para ello, emplee la herramienta Calcular. Defina como base (Yo=0) el punto más bajo de la primera “oscilación” del péndulo.

5. Cree un gráfico energía potencial vs. tiempo. ¿Se comporta la energía potencial tal como lo esperaba? Explique.

6. Dentro del intervalo correspondiente a la primera “oscilación” del péndulo de Maxwell, ¿Cuánto vale la máxima energía potencial y a qué instante corresponde? ¿Cuál es la mínima energía potencial y en qué momento se obtiene?

7. Usando la herramienta Calcular, obtenga la energía cinética de traslación (Kcm) del péndulo de Maxwell.

8. Cree un gráfico Kcm vs. tiempo.

9. Compare el comportamiento de esta gráfica con la de energía potencial: ¿qué relación existe entre los máximos y los mínimos de cada gráfica?

10. Calcule la energía cinética de rotación (Krot) del péndulo de Maxwell y cree un gráfico Krot vs. tiempo.

11. Compare el comportamiento de esta gráfica con las dos anteriores.

12. Calcule la energía mecánica total (E) del péndulo de Maxwell y cree un gráfico E vs. tiempo.

13. En el intervalo en estudio, ¿podría afirmar que se conserva la energía mecánica del sistema? ¿Por qué?

14. ¿Debe tenerse en cuenta el efecto de fuerzas no conservativas en el análisis del movimiento del péndulo? Si es así, ¿cuáles pueden ser estas fuerzas?

15. ¿Podría usar la gráfica E vs. t para estimar el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas?

Bibliografía

F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman. Física Universitaria, volumen 1. Décimo primera edición, Pearson Educación, México, 2004.
Universidad de Sevilla. Ingeniería Industrial. Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Prácticas de Laboratorio. Práctica 18: Conservación de la energía mecánica – Disco de Maxwell.
http://www.esi2.us.es/DFA/FFII/Practicas/Practica_18_2005.pdf
Ángel Franco García. Universidad del País Vasco, Campus de Gipuzkua. Física con ordenador. Curso Interactivo de Física en Internet. La rueda de Maxwell. 12 de Abril de 2006.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/yoyo/yoyo.htm

Tabla de Datos

Masa del péndulo de Maxwell, m ( ):
Diámetro del eje, d ( ):
Radio del eje, r ( ):

Aceleración del péndulo en un recorrido completo, a ( ):
Incertidumbre absoluta de la aceleración, ∆a ( ):
Incertidumbre relativa de la aceleración, ∆a/a (%):

Momento de inercia del péndulo de Maxwell, Id ( ):
Incertidumbre absoluta del Momento de inercia, ∆Id ( ):
Incertidumbre relativa del Momento de inercia, ∆Id/Id (%):

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